Linear combination(선형 결합과) Span(생성) 개념 정리 – 선형 독립과 종속까지 한 번에 이해하기



선형 결합이란?

여러 벡터를 이용하여
새로운 벡터를 만드는 것을
Linear combination (선형 결합)
이라고 합니다.




만약 Basis vector (기저 벡터) 를 이용하여
선형 결합으로 새로운 벡터를 만든다면
기저 벡터가 정의하는 공간의
모든 차원의 벡터를 만들 수 있습니다.

선형결합1



​ 즉, 어느 공간에 벡터가 있다면
그 벡터는 해당 공간의 기저 벡터의
선형결합으로 정의할 수 있습니다.




‘선형(Linear)’의 의미는 무엇인가

두 벡터를 합쳐서 하나의 벡터를
만드니까 결합은 알겠는데,

Linear (선형) 은 무슨 의미일까요??

선형결합2

우리가 한쪽 스칼라를 고정하고,
다른 스칼라만 변경할경우
그림처럼 선을 그리게됩니다. ​
(참조에 동영상을 보시면 직관적입니다.)

선형결합3

만약 선형결합을 하기 위한 벡터가
위 그림처럼 정렬되면 새로운 벡터는
동일한 선상 위에만 존재하게 됩니다.

영벡터

벡터가 모두 영벡터인 경우는
뭘 할 껀덕지도 없습니다.






Span이란? 벡터로 만들어지는 공간

주어진 벡터의 선형결합으로
만들 수 있는 모든 벡터의 집합을
주어진 벡터의 Span(생성) 이라고 부릅니다. ​

(저는 벡터의 집합 보다 공간이라고
받아들이는 것이 직관적이라 생각합니다.)

선형결합4 1

이러한 벡터의 선형결합으로
만들 수 있는 새로운 벡터는
2차원 공간위의 모든 벡터이지만,

선형결합5

이런 벡터의 선형결합으로 만들 수 있는
새로운 벡터는 1차원 특정 선 위의
모든 벡터입니다. ​

​ 즉, Span 은 주어진 벡터를 이용하여
벡터의 덧셈과 스칼라배, 이 두 연산 만을
이용하여 만들 수 있는 벡터는 무엇이 있는가?
묻는 것과 같습니다.







2차원과 3차원에서의 Span 직관적으로 이해하기

제가 벡터의 집합을
공간으로 이해하는 것이
직관적이라고 설명했었습니다.

벡터의집합1

그림과 같이 많은 벡터의 집합을
생각하는 것은 복잡해집니다. ​

하나의 벡터 자체를 생각할 때는
화살표로 생각하고,

​ 이와 같이 벡터의 집합을 다룰 때,
각 벡터를 한 점 (벡터의 머리)로
표현하는 것이 일반적입니다. ​




​ ​ ​ 이렇게 표현하면

선1

이러한 벡터의 집한은
한 선으로 표현할 수 있고

평면1

이러한 벡터의 집합은 2차원 공간의
무한한 평면으로 생각할 수 있습니다.









3차원에서 생각해보겠습니다.

3차원좌표계

3차원 안 에서의 위 그림의
두 벡터의 Span 은 무엇일까요?

​ 두 벡터의 모든 선형결합의 집합입니다.

생성

이렇게 만든 집합은 3차원 안에서
원점을 지나는 2D plane 을 그리게 됩니다.

생성2

하나의 벡터를 추가한 뒤 Span 을 구해보겠습니다.

생성3

무한한 3차원 공간의 새로운 벡터의
집합을 생성할 수 있습니다.











선형 종속(Linearly Dependent) vs 선형 독립(Linearly Independent)

주의할 점이 있습니다.

벡터의 종속

만약 새로운 3번째 벡터가
기존 다른 두 벡터의 생성에 놓이는 경우나,

​ 그림과 같이 한 직선 상에 놓인
벡터가 있다면 벡터가 중복되므로
​ Span 의 차원에 영향을 끼치지 못하고
이러한 경우를
Linearly dependent(선형 종속) 라고 표현합니다.

​ 즉, 선형 종속은 Span 의 축소 없이 벡터들
중 하나를 제거해도 되는 경우를 말합니다.

선형독립

이렇게 모든 벡터가 Span(생성)에 다른 차원을
구성한다면 이 벡터들을
Linearly independent(선형 독립) 이라고 부릅니다.










참고자료

https://www.3blue1brown.com/lessons/span

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