3차원 선형 변환이란 무엇인가?
그림과 같이 Input 으로 3차원 벡터를 받고
Output 으로 3차원 벡터를
만드는 선형 변환을 생각해 보겠습니다.
2차원과 마찬가지로
그림으로 표현할 수 있습니다.
3차원 상의 모든 점을
격자화로 표현한 뒤,
이 때 원점은 고정되어 있고
격자선은 평행하고 균등한
상태를 유지합니다.
3D 공간에서의 기저 벡터(i, j, k hat)
3차원에서 흔히 사용하는
표준 기저 벡터 3개가 있습니다.
x (i hat),y (j hat),z (k hat) 입니다.
3차원 변환도 2차원과 마찬가지로
기저 벡터가 어디로 향하는지로
해석할 수 있습니다.
각 열은 기저벡터를 스케일링하는
지침으로 해석할 수 있고
기저 벡터가 변형을 통하여
도달하는 벡터 3개를 이용하여
만드는 3×3 행렬은
3차원 변환을 나타냅니다.
Input 벡터가 주어진 변환을 통하여
어디로 향하는지 계산하기 위해서는
위와 같이 계산을 통하여 알 수 있습니다.
3D 변환 계산 과정과 순차적 적용
여러 변환이 연속적으로 있더라도
순차적으로 계산만 해주면
간단하게 구할 수 있습니다.
첫 번째 변환을 곱하면
첫 번째 3차원 변환을 적용한 것이고
이어서
두 번째 변환을 곱하면
두 번째 3차원 변환을 적용한 것입니다.
그래픽스와 로보틱스에서의 3D 변환 활용
3차원 행렬 변환은
그래픽스와 로보틱스에서
굉장히 많이 사용됩니다.
그래픽스와 로보틱스는 3차원 개념이
들어가고 3차원 복잡한 회전을 계산할 때,
여러 단순한 회전들의 합성으로
쉽게 풀어갈 수 있기 때문입니다.
예를 들자면,
그래픽스에서 3차원 세상에서
어느 위치에서 보느냐에 따라
생성되는 이미지가 변하므로
3차원 변환이 필요하고,
로보틱스에서는 로봇팔이 자동차를 조립할 때,
실제 세상(3D)에서 어떻게
움직여야 하는지를 계산해야 합니다.